Question

下列几个命题；
①

a＞0 △=b2-4ac≤0

是一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集为R的充要条件；
②设函数y=f（x）的定义域为R，则函数f（x）与f（-x）的图象关于y轴对称；
③若函数y=Acos（ωx+φ）（A≠0）为奇函数，则φ=

π

2

+kπ（k∈Z）；
④已知x∈（0，π），则y=sinx+

2

sinx

的最小值为2

2

；
期中正确的有（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①，利用二次函数的性质及充分必要条件的概念及应用可判断①；
②，构造函数y=f（x）=sinx与y=sin（-x），则函数f（x）与f（-x）的图象关于x轴对称，可判断②；
③，利用定义域为R上的奇函数的性质可知f（0）=0，易得φ=

π

2

+kπ（k∈Z），可判断③；
④，令t=sinx，则0＜t≤1，由双钩函数y=t+

2

t

的单调性可知，y=t+

2

t

在区间（0，1]上单调递减，可判断④．

解答： 解：对于①，

a＞0 △=b2-4ac≤0

是一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集为R的充要条件，故①正确；
对于②，∵y=sinx与y=sin（-x）的定义域均为R，但二者的图象关于x轴对称，故②错误；
设函数y=f（x）的定义域为R，则函数f（x）与f（-x）的图象关于y轴对称；
对于③，若函数y=Acos（ωx+φ）（A≠0）为奇函数，则f（0）=Acosφ=0，φ=

π

2

+kπ（k∈Z），故③正确；
对于④，∵x∈（0，π），∴sinx∈（0，1]，令t=sinx，则0＜t≤1，由双钩函数y=t+

2

t

的单调性可知，y=t+

2

t

在区间（0，1]上单调递减，
∴y_min=1+

2

1

=3，即y=sinx+

2

sinx

的最小值为3，故④错误；
综上所述，正确的命题为①③，
故选：C．

点评：本题考查函数的性质，主要考查函数的奇偶性、单调性、对称性的综合应用，考查二次函数的性质及充分必要条件的概念及应用，属于中档题．