Question

已知f(x)=

2x-1

2x+1

．
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）根据奇偶性的定义，将函数f（-x）化简整理，可得f（-x）=-f（x），所以f（x）在其定义域上是奇函数；
（2）利用函数单调性的定义，取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，通过作差因式分解，得到f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）是R上的增函数．

解答：解：（1）f（x）的定义域为R
∵f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x）
∴f（x）是奇函数…（6分）
（2）任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，可得2x1＜2x2，且2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f(x)=

2x-1

2x+1

是（-∞，+∞）上的增函数．

点评：本题给出含有指数式的分式函数，讨论函数的奇偶性和单调性，着重考查了函数的单调性和奇偶性的定义、基本初等函数性质等知识，属于中档题．