Question

设椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F₁,F₂,点P(a,b)满足|PF₂|=|F₁F₂|.
(1)求椭圆的离心率e;
(2)设直线PF₂与椭圆相交于A,B两点.若直线PF₂与圆(x+1)²+(y-)²=16相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.

Answer 1

(1)    (2) +=1

解:(1)设F₁(-c,0),F₂(c,0)(c>0),
因为|PF₂|=|F₁F₂|,
所以=2c,
整理得2（）²+-1=0,
得=-1(舍去),或=,
所以e=.
(2)由(1)知a=2c,b=c,
可得椭圆方程为3x²+4y²=12c²,
直线PF₂的方程为y=(x-c).
A、B两点的坐标满足方程组
消去y并整理,得5x²-8cx=0,
解得x₁=0,x₂=c.
得方程组的解　
不妨设A（c,c）,B(0,-c),
所以|AB|==c.
于是|MN|=|AB|=2c.
圆心(-1,)到直线PF₂的距离
d==.
因为d²+=4²,
所以(2+c)²+c²=16.
整理得7c²+12c-52=0,
解得c=-(舍去)或c=2.
所以椭圆方程为+=1.