Question

【题目】已知函数，其中．

（1）①求函数的单调区间；

②若满足，且．求证： ．

（2）函数．若对任意，都有，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①单调递增区间，，单调递减区间；②详见解析；（2）.

【解析】

(1)①求导可得,再分别求解与的解集,结合定义域分析函数的单调区间即可.

②根据(1)中的结论,求出的表达式,再分与两种情况,结合函数的单调性分析的范围即可.

(2)求导分析的单调性,再结合单调性,设去绝对值化简可得,再构造函数,,根据函数的单调性与恒成立问题可知,再换元表达求解最大值即可.

解：,

由可得或,

由可得,

故函数的单调递增区间,,单调递减区间；

,

或,

若,因为,故,,

由知在上单调递增,,

若由可得x1,

因为,

所以,

由在上单调递增,

综上．

时,,在上单调递减,

不妨设

由(1)在上单调递减,

由,

可得,

所以,

令,,

可得单调递减,

所以在上恒成立,

即在上恒成立,即,

所以, ,

所以的最大值．