Question

若点P的横、纵坐标均为整数，则称P是“整点”．已知直线l：

x

a

+

y

b

=1与圆x²+y²=25有公共点且都是整点，那么这样的直线l共有

60

条．

Answer 1

分析：求出x²+y²=25，整点的整点个数，如图，共12个点，由题意直线

x

a

+

y

b

=1（a，b为非零实数）与x，y轴不平行，不经过原点，求出所有的直线的条数，去掉不满足题意的直线的条数即可．

解答：解：x²+y²=100，整点为（0，±5），（±3，±4），（±4，±3），（±5，0），
如图，共12个点，
直线

x

a

+

y

b

=1（a，b为非零实数），
∴直线与x，y轴不平行，不经过原点
任意两点连线有C₁₂²条，
与x，y轴平行有14条，经过原点有6条，
其中有两条既过原点又与x，y轴平行，
∴共有C₁₂²+12-14-6+2=60．
故答案为：60．

点评：本题考查直线与圆的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，恰当地借助数形结合进行求解．