Question

已知动圆P过定点A（-3，0），且与圆B：（x-3）²+y²=64相切，点P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上（不在x轴上）的动点，过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在常数λ，使

AM

•

AN

=λ

PQ

²总成立，若存在，求λ；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求△MNQ的面积S的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出点P到两定点A（-3，0）和B（3，0）距离之和等于定圆B的半径，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设直线OQ：x=my，直线MN：x=my-3，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），联立方程组

x=my-3 x2 16 + y2 7 =1

，得：（7m²+16）y²-42my-49=0，由此能求出存在符合条件的常数λ．
（Ⅲ）由MN∥OQ，知S=S_△MNQ=S_△MNO=

1

2

|OA|•|y₁-y₂|=

3

2

|y₁-y₂|，由此利用均值不等式能求出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵动圆P过定点A（-3，0），且与圆B：（x-3）²+y²=64相切，
∴点P到两定点A（-3，0）和B（3，0）距离之和等于定圆B的半径，
∴|PA|+|PB|=8，
∴点P的轨迹是以A、B为焦点，半长轴为4的椭圆，
∴曲线C的方程为：

x2

16

+

y2

7

=1．
（Ⅱ）∵Q不在x轴上，∴设直线OQ：x=my，
∵过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点，∴直线MN：x=my-3，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₃，y₃），
则

AM

=(x1+3，y1)，

AN

=(x2+3，y2 )，
联立方程组

x=my-3 x2 16 + y2 7 =1

，消去x，得：（7m²+16）y²-42my-49=0，
∴y₁+y₂=

42m

7m2+16

，y1y2=-

49

7m2+16

，
x₁x₂=（my₁-3）（my₂-3）=m²y₁y₂-3m（y₁+y₂）+9，
x₁+x₂=m（y₁+y₂）-6，
∴

AM

•

AN

=（x₁+3）•（x₂+3）+y₁y

2

=x₁x₂+3（x₁+x₂）+9+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂
=-

49(m2+1)

7m2+16

，
联立方程组

x=my x2 16 + y2 7 =1

，消去x，得y2=

112

7m2+16

，y₃为其一根，
∴

OQ

2=x32+y32=（m²+1）y32=

112(m2+1)

7m2+16

，
∵

AM

•

AN

=λ

PQ2

，∴-49=112λ，
解得λ=-

7

16

，
∴存在符合条件的常数λ，λ=-

7

16

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知（7m²+16）y²-42my-49=0，
y₁+y₂=

42m

7m2+16

，y1y2=-

49

7m2+16

，
∵MN∥OQ，
∴S=S_△MNQ=S_△MNO=

1

2

|OA|•|y₁-y₂|=

3

2

|y₁-y₂|
=

3

2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

3

2

•

56 m2+1

7(m2+1)+9

=

3×28 m2+1

7(m2+1)+9

=

3×28

7 m2+1 + 9 m2+1

≤2

7

．
当且仅当m2=

2

7

时取等号，
∴所求最大值为2

7

．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的直线是副产品存在，考查最大值的求法，是中档题．