Question

如图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，N 为线段PB 的中点，PD⊥ 平面ABCD，EC ∥PD，且PD=2EC。

(1) 求证：BE ∥平面PDA；  
(2) 求证：EN⊥平面PDB；    
(3) 若，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小。

Answer 1

(1)证明：∵EC∥PD，PD平面PDA，EC平面PDA， ∴EC∥平面PDA，同理可得BC∥平面PDA， ∵EC平面EBC，BC平面EBC，且EC∩BC=C， ∴平面BEC∥平面PDA. 又∵BE平面EBC, ∴BE∥平面PDA
(2)证明：如图1，连结AC与BD交于点F，连结NF， ∵F为BD的中点，N为线段PB的中点， ∴NF∥PD且 又EC∥PD且 ∴NF∥EC且NF=EC ∴四边形NFCE为平行四边形， ∴NE∥FC. ∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD， ∴AC⊥PD. 又PD∩BD =D， ∴AC⊥平面PDB， ∴NE⊥平面PDB。	图1
(3)解：如图2，延长PE与DC的延长线交于点G，连结GB，则GB为平面PBE与平面ABCD的交线， ∵PD=2EC． ∴CD=CG=CB, ∴D、B、G在以C为圆心、以DC为半径的圆上． ∴DB⊥BG． ∵PD⊥平面ABCD，BG平面ABCD， ∴PD⊥BG且PD∩DB=D， ∴BG⊥平面PDB， ∵PB平面PDB， ∴BG⊥PB． ∴∠PBD为平面PBE与平面ABCD所成的二面角的平面角， 在Rt△PDB中，∵PD=DB， ∴∠PBD=45°， 即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°