Question

已知f（x）=x³-ax在（-1，0）上是减函数
（1）求a的取值范围
（2）当a=3时，定义数列{a_n}：a_n+1=-

1

2

f（a_n）且-1＜a₁＜0，是比较a_n+1与a_n的大小．

Answer 1

分析：（I）将f（x）=x³-ax在（-1，0）上是减函数问题转化为f′（x）=3x²-a≤0对x∈（-1，0）恒成立问题，进而参变分离求函数y=3x² （-1＜x＜0）的值域即可得a的范围；
（II）先将递推关系式转化为a_n+1=-

1

2

（a_n³-3a_n），2（a_n-a_n+1）=a_n³-a_n=a_n×（a_n+1）×（a_n-1），由-1＜a₁＜0，递推-1＜a₂＜a₁＜0，从而猜想a_n+1＜a_n，再利用数学归纳法证明此猜想即可

解答：解：（I）∵（x）=x³-ax，∴f′（x）=3x²-a，
∵f（x）在（-1，0）上是减函数，∴3x²-a≤0对x∈（-1，0）恒成立，
即3x²≤a对x∈（-1，0）恒成立．而y=3x² （-1＜x＜0）的值域为（0，3），
∴a≥3
（II）∵a_n+1=-

1

2

f（a_n），∴a_n+1=-

1

2

（a_n³-3a_n），
∴2（a_n-a_n+1）=a_n³-a_n=a_n×（a_n+1）×（a_n-1），
∵-1＜a₁＜0，∴a₁×（a₁+1）×（a₁-1）＞0，从而a₁-a₂＞0，∴a₁＞a₂
∵-2a₂=a₁³-3a₁，且-1＜a₁＜0，y=x³-3x在（-1，0）上是减函数，∴-1＜a₂＜0
又2（a₂-a₃）=a₂×（a₂+1）×（a₂-1）＞0，∴a₂＞a3
猜想a_n+1＜a_n，
1°当n=1时，有-1＜a₁＜0
2°假设n=k时，-1＜a_k＜0
则∵-2a_k+1=a_k³-3a_k，且-1＜a_k＜0，y=x³-3x在（-1，0）上是减函数，∴-1＜a_k+1＜0
即n=k+1时，-1＜a_n＜0也成立
综上得，-1＜a_n＜0，（n∈N^*）
又∵2（a_n-a_n+1）=a_n³-a_n=a_n×（a_n+1）×（a_n-1）＞0，
∴a_n+1＜a_n．

点评：本题考查了已知函数的单调性求参数取值范围问题的解法，导数在函数单调性中的应用，函数与数列的综合，归纳猜想并用数学归纳法证明的方法技巧