Question

已知函数f（x）=-x³，若不等式f（m）-f（e^x+e^-x）≥0（e为自然对数的底数）对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，2]
• B、[2，+∞）
• C、（-∞，0]
• D、[0，+∞）

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：运用导数判断f（x）的单调性，即有m≤e^x+e^-x恒成立，再由基本不等式求得右边的最小值，令m不大于最小值即可．

解答： 解：函数f（x）=-x³的导数为f′（x）=-3x²≤0，
即有f（x）在R上递减，
不等式f（m）-f（e^x+e^-x）≥0对任意x∈R恒成立，
即有f（m）≥f（e^x+e^-x），则有m≤e^x+e^-x，
而e^x+e^-x≥2

ex•e-x

=2，
则有m≤2．
故选A．

点评：本题考查函数的单调性的运用，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．