Question

试证：当n为正整数时，f(n)=3²ⁿ⁺²-8n-9能被64整除.

Answer 1

证明略

证明 方法一 （1）当n=1时，f(1)=3⁴-8-9=64,
命题显然成立.
（2）假设当n="k" (k≥1,k∈N^*)时，
f(k)=3^2k+2-8k-9能被64整除.
由于3^2(k+1)+2-8(k+1)-9=9(3^2k+2-8k-9)+9·8k+9·9-8(k+1)-9=9(3^2k+2-8k-9)+64(k+1)
即f(k+1)=9f(k)+64(k+1)
∴n=k+1时命题也成立.
根据（1）（2）可知，对任意的n∈N^*，命题都成立.
方法二 （1）当n=1时，f(1)=3⁴-8-9=64，命题显然成立.
（2）假设当n="k" (k≥1,k∈N^*)时，f(k)=3^2k+2-8k-9能被64整除.
由归纳假设，设3^2k+2-8k-9=64m(m为大于1的自然数)，将3^2k+2=64m+8k+9代入到f(k+1)中得
f(k+1)=9(64m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9m+k+1),
∴n=k+1时命题成立.
根据（1）（2）可知，对任意的n∈N^*,命题都成立.