Question

函数f（x）=

1

2

x²-mln

1+2x

+mx-2m，其中m＜0．
（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）已知当m≤-

g

2

（其中e是自然对数的底数）时，在x∈（-

1

2

，

g-1

2

]至少存在一点x₀，使f（x₀）＞e+1成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：当m=-1时，对任意x₁，x₂∈（0，1），x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜

1

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数的定义域，并求出f′（x）=0时x的值，在定义域内取m的值讨论导函数的正负决定函数的增减性，得到函数的单调区间即可；
（Ⅱ）在x∈（-

1

2

，

g-1

2

]至少存在一点x₀，使f（x₀）＞e+1成立，只需求出f（x）的最大值大于e+1即可求出m的范围．所以在根据第一问函数的增减性得到在x∈（-

1

2

，

g-1

2

]区间f（x）的最大值即可；
（Ⅲ）把m=-1代入求出f（x），然后构造辅助函数g（x）=f（x）-

1

3

x，求出g′（x）并讨论得到g（x）在（0，1）为减函数，对任意0＜x₁＜x₂＜1，都有g（x₁）＞g（x₂）成立，即f（x₁）-

1

3

x₁＞f（x₂）-

1

3

x₂．即f（x₂）-f（x₁）＜

1

3

（x₂-x₁）解出即可得证．

解答：解：（Ⅰ）易知f（x）的定义域为x∈（-

1

2

，+∞）．
f′（x）=x-

m

1+2x

+m=

2 x2+(2m+1) x

1+2x

=

2x(x+m+ 1 2 )

1+2x

．
由f′（x）=0得：x=0或x=-m-

1

2

．
∵m＜0，∴-m-

1

2

∈（-

1

2

，+∞）．
∴（1）当-

1

2

≤m＜0时，则x∈（-

1

2

，-m-

1

2

）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（-m-

1

2

，0）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
（2）当m＜-

1

2

时，则x∈（-

1

2

，0）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
x∈（0，-m-

1

2

）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
x∈（-m-

1

2

，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．

（Ⅱ）在x∈（-

1

2

，

g-1

2

]上至少存在一点x₀，使f（x₀）＞g+1成立，
等价于当x∈（-

1

2

，

g-1

2

]时，f（x）_max＞g+1．
∵m≤-

g

2

，∴

g-1

2

≤-m-

1

2

．
由（Ⅰ）知，x∈（-

1

2

，0]时，f（x）为增函数，x∈[0，

g-1

2

）时，f（x）为减函数．
∴在x∈（-

1

2

，

g-1

2

]时，f（x）_max=f（0）=-2m．∴-2m＞g+1，即m＜

-1-g

2

．
检验，上式满足m≤-

g

2

，所以m＜

-1-g

2

是所求范围．

（Ⅲ）当m=-1时，函数f（x）=

1

2

x²+ln

1+2x

-x+2．
构造辅助函数g（x）=f（x）-

1

3

x，并求导得g′（x）=x+

1

1+2x

-

4

3

=

6x2-5x-1

3(1+2x)

=

(6x+1)(x-1)

3(1+2x)

显然当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
∴对任意0＜x₁＜x₂＜1，都有g（x₁）＞g（x₂）成立，即f（x₁）-

1

3

x₁＞f（x₂）-

1

3

x₂．
即f（x₂）-f（x₁）＜

1

3

（x₂-x₁）
即．又∵x₂-x₁＞0，∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＜

1

3

．

点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，理解函数的最值及几何意义，掌握利用函数增减性证明不等式的方法．