Question

已知向量

a

=（

3

2

，-

3

2

），

b

=（

1

2

，

3

2

），且存在实数x和y，使向量

m

=

a

+（x²-3）•

b

，

n

=-y

a

+x

b

，且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的关系式，并求其单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在正数M，使得对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤M成立？若存在求出M；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件可得

a

•

b

=0，故

m

•

n

=-3y+x（x²-3）=0，可得y=f（x）=

1

3

x3-x，求导数可得单调区间和极值；
（Ⅱ）可知f（x）在[-1，1]上的最大值为

2

3

，最小值为-

2

3

，可得|f（x₁）-f（x₂）|≤|

2

3

-(-

2

3

)|=

4

3

，进而可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得

a

•

b

=

3

2

×

1

2

+(-

3

2

)×

3

2

=0，
由且

m

⊥

n

可得

m

•

n

=[

a

+（x²-3）•

b

]•（-y

a

+x

b

）
=-y

a

2+x（x²-3）

b

2=-3y+x（x²-3）=0，
变形可得y=f（x）=

1

3

x3-x．
求导数可得f′（x）=x²-1=（x+1）（x-1）．
故在（-∞，-1）和（1，+），f′（x）＞0
函数f（x）为增函数，
在（-1，1）f′（x）＜0，函数f（x）为减函数．
故f（x）的极大值为f（-1）=

2

3

，f（x）的极小值为f（1）=-

2

3

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数f（x）=

1

3

x3-x在[1，1]上为减函数，
故f（x）的最大值为f（-1）=

2

3

，最小值为f（1）=-

2

3

，
故对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|

2

3

-(-

2

3

)|=

4

3

，
故存在正数M≥

4

3

符合要求．

点评：本题考查函数的单调性和极值，涉及平面向量的运算和垂直与数量积的关系，属中档题．