Question

已知向量

a

=（sinx，

3

2

），

b

=（cosx，-1）．
（1）当

a

∥

b

时，求2cos²x-sin2x的值；
（2）求f（x）=（

a

+

b

）•

b

在[-

π

2

，0]上的单调区间，并说明单调性．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：

3

2

cosx+sinx=0，所以tanx=-

3

2

，所以2cos²x-sin2x=

2cos2x-sinxcosx

sin2x+cos2x

=

2-2tanx

1+tan2x

，进而得到答案．
（2）由题意可得：f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)，并且-

3π

4

≤2x+

π

4

≤

π

4

，令-

3π

4

≤2x+

π

4

≤-

π

2

，进而得到函数的减区间，同理可得增区间．

解答：解：（1）因为

a

∥

b

，所以

3

2

cosx+sinx=0，所以tanx=-

3

2

，
所以2cos²x-sin2x=

2cos2x-2sinxcosx

sin2x+cos2x

=

2-2tanx

1+tan2x

=

20

13

．
（2）由题意可得：f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)，
∵-

π

2

≤x≤0，
∴-

3π

4

≤2x+

π

4

≤

π

4

，令-

3π

4

≤2x+

π

4

≤-

π

2

，得-

π

2

≤x≤-

3π

8

，
故f（x） 在[-

π

2

，-

3π

8

] 上是单调减函数，
同理f（x） 在[-

3π

8

，0] 上是单调增函数．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握向量的数量积的运算，以及三角函数的有关性质．