Question

某会议室有5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同。假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为，寿命为2年以上的概率为。从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换。

    （1）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；

    （2）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；

    （3）当=0.8，=0.3时，求在第二次灯泡更换工作时，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两位有效数字）。

   

Answer 1

思路解析：

    （1）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为p₁⁵;需要更换2只灯泡的概率为10p₁³（1-p₁）²；

    （2）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p₁）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p₁（1-p₂），故所求的概率为p=（1-p₁）²+p₁（1-p₂）；

    （3）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p₅〔其中p为（2）中所求，下同〕，换4只的概率为5p⁴（1-p），故至少换4只灯泡的概率为p₃=p⁵+5p⁴（1-p）。又当p₁=0.8，p₂=0.3时，p=0.2²+0.8×0.7=0.6，

∴p₃=0.6⁵+5×0.6⁴×0.4=0.34，即满2年至少需要换4只灯泡的概率为0.34。