Question

从0，1，2，…，10中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”，若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法为“完美填法”．
试问：对图1和图2是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：对于图1，各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同，上述填法即为完美；对于图2不存在完美填法．利用反证法进行证明．假设存在完美填法．由于图中一共有10条连线，因此各连线上两数之差的绝对值恰好为1，2，3，…，10，其和s=55为奇数；另一方面，图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条．即每一个圆圈内的数在上述S的表达式中出现偶数次．因此S应为偶数，出现矛盾．从而得出不存在完美填法．

解答：解：对图1，上述填法即为完美（答案不唯一）．…（10分）
对于图2不存在完美填法．因为图中一共有10条连线，因此各连线上两数之差的绝对值恰好为1，2，3，…，10，…（15分）
其和s=|a₁-a₂|+|a₁-a₃|+|a₂-a₃|+…+|a₇-a₈|=55为奇数．…（20分）
另一方面，图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条．
即每一个圆圈内的数在上述S的表达式中出现偶数次．因此S应为偶数，矛盾．…（25分）
所以，不存在完美填法．

点评：本小题主要考查进行简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、反证法思想．属于中档题．