Question

不论θ如何变化，方程y²-6ysinθ-2x-9cos²θ+8cosθ+9=0，都表示顶点在同一曲线上的抛物线，该曲线的方程为

x2

16

+

y2

9

=1

．

Answer 1

分析：将方程y²-6ysinθ-2x-9cos²θ+8cosθ+9=0转化为（y-3sinθ）²=2（x-4cosθ），从而可得其顶点坐标为（4cosθ，3sinθ），而（4cosθ，3sinθ）在同一曲线上，消掉参数θ即可求得该曲线的方程．

解答：解：∵y²-6ysinθ-2x-9cos²θ+8cosθ+9=0，
∴（y-3sinθ）²=2（x-4cosθ），
∴抛物线的顶点坐标为（4cosθ，3sinθ），
又抛物线的顶点在同一曲线上，
∴

x=4cosθ y=3sinθ

，消掉参数θ可得，

x2

16

+

y2

9

=1．
故答案为：

x2

16

+

y2

9

=1．

点评：本题考查椭圆的参数方程，求得抛物线的顶点坐标为（4cosθ，3sinθ）是关键，考查分析转化与综合应用解决问题的能力，属于中档题．