Question

6．已知函数f（x）=x²+alnx（a≠0）．
（1）若x=1是函数f（x）的极值点，求a的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）若x=1是函数f（x）的极值点，f′（1）=2+a=0，即可求a的值；
（2）求导数，分类讨论，利用导数的正负求出函数f（x）的单调性．

解答 解：（1）∵f（x）=x²+alnx，
∴f′（x）=2x+$\frac{a}{x}$，
∵x=1是函数f（x）的极值点，
∴f′（1）=2+a=0，
∴a=-2（5分）
（2）∵f（x）的定义域是（0，+∞），$f'（x）=\frac{{2{x^2}+a}}{x}$，
当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）的增区间是（0，+∞），没有减区间；
当a＜0时，由f′（x）＞0得增区间[$\sqrt{-\frac{a}{2}}$，+∞），由f′（x）＜0得减区间（0，$\sqrt{-\frac{a}{2}}$]．（12分）

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了推理能力，分类讨论的能力和计算能力，属于中档题．