Question

（本小题满分14分）已知函数=

(1) 若存在单调增区间，求的取值范围；

（2）是否存在实数>0，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出的取值范围？若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）a的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞)

（2）, 所以a的取值范围是(1, )

【解析】答：（1）由已知，得h(x)=  且x>0,  …………………...1f

则hˊ(x)=ax+2-=,…………………………………………………2f

 ∵函数h(x)存在单调递增区间,

∴hˊ(x)>0有解, 且解满足……………………….……3f

即不等式ax²+2x-1>0有满足……………………..……4f

当a<0时, y=ax²+2x-1的图象为开口向下的抛物线, 要使ax²+2x-1≥0总有x>0的解, 则方程ax²+2x-1=0至少有一个不重复正根, 而方程ax²+2x-1=0总有两个不相等的根时, 则必定是两个不相等的正根. 故只需Δ=4+4a>0, 即a>-1. 即-1<a<0……………….5f

当a>0 时, y= ax²+2x-1的图象为开口向上的抛物线,  ax²+2x-1≥0 一定有x>0的解.    …………………………………………………………………………….……...6f           

综上, a的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞) ……………………………………….…….  7f

解法二、同解法一…….

即不等式ax²+2x-1>0有满足……………………….……4f

即有解……………………………………………………….5f

令的最小值为……………………………………..……6f

结合题设得a的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞) ………………………………………  7f

解法三、同解法一……….

即不等式ax²+2x-1>0有满足……………………..……4f

(1)当, ，ax²+2x-1>0没有符合条解………………………5f

(2)当，方程的两根是，此时，区间是所求的增区间。.

………………………………………………………………………………………………6f

当，方程的两根是，，区间为所求的增区

综上, a的取值范围是(-1, 0)∪(0, +∞) ……………………………………….…….  7f  

（2）解法一、方程

即为

等价于方程ax²+(1-2a)x-lnx=0 .  …………………………………………………..  8f

设H(x)= ax²+(1-2a)x-lnx, 于是原方程在区间()内根的问题, 转化为函数H(x)在区间()内的零点问题………………………………………………………………….... 9f 

 Hˊ(x)=2ax+(1-2a)-=  ……….….….10f

当x∈(0, 1)时, Hˊ(x)<0,  H(x)是减函数；   当x∈(1, +∞)时, Hˊ(x)>0,  H(x)是增函数；  

若H(x)在()内有且只有两个不相等的零点, 只须

       ……………..…13f

解得, 所以a的取值范围是(1, )  …………………… …..14f