Question

（1）证明：对?n∈N^*，eⁿ＞

1

2

n²+n+1；
（2）已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=ean-a_n-1，求证：0＜a_n+1＜a_n．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,数学归纳法

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）这是一个不等式恒成立问题，因此只需研究其对应的函数在（0，+∞）上的单调性，求其最值即可；
（2）可以考虑采用数学归纳法证明，注意步骤要完整严密．

解答： 解：（1）令f(x)=ex-(

1

2

x2+x+1)(x＞0)．
所以f′（x）=e^x-x-1．
又因为f′′（x）=e^x-1＞0在（0，+∞）上恒成立，故此时f′（x）是增函数，
且f′（0）=0，故f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立．
所以f（x）在（0，+∞）是增函数，且f（0）=0．
所以f（x）＞f（0）=0恒成立，所以f（n）＞0，即en＞

1

2

n2+n+1．
（2）当n=1时，a₂=e-2，所以0＜a₂＜a₁．
假设当n=k（k∈N^*），有0＜a_k+1＜a_k，
由（1）知，g（x）=e^x-x-1在（0，+∞）上单调递增，且g（x）＞0，
所以0＜g（a_k+1）＜g（a_k）．
即0＜a_k+2＜a_k+1，
所以当n=k+1时，0＜a_k+2＜a_k+1成立．
综上可知，对于任意的n∈N^*，都有0＜a_n+1＜a_n成立．

点评：本题考查了利用函数思想解决与数列有关的不等式恒成立问题以及数学归纳法的应用．属于中档题．