Question

15．若圆x²+y²-2x+4y+1=0上至少有两个点到直线2x+y-c=0的距离等于1，则实数c的取值范围为（　　）

• A． $（0，3\sqrt{5}）$
• B． $[-\sqrt{5}，\sqrt{5}]$
• C． $（-3\sqrt{5}，3\sqrt{5}）$
• D． $（0，\sqrt{5}）$

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，画出图象，根据图象和题意列出关于d的不等式，求出不等式的解集即可得到c的取值范围．

解答 解：把圆的方程化为标准方程得：（x-1）²+（y+2）²=4，
得到圆心坐标为（1，-2），半径r=2，
根据题意画出图象，如图所示：
因为圆心到直线2x+y-c=0的距离d=$\frac{|c|}{\sqrt{5}}$，
根据图象可知：当0≤d＜3时，
圆上至少有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1，
即0≤$\frac{|c|}{\sqrt{5}}$＜3，
解得，$-3\sqrt{5}$＜c＜3$\sqrt{5}$，
则满足题意的c的取值范围是（-3$\sqrt{5}$，3$\sqrt{5}$），
故选：C．

点评 本题考查圆上的点到直线距离问题，点到直线的距离公式，解题关键是通过图象找出圆心到已知直线的距离的取值范围，考查了数形结合的数学思想．