Question

a为实数，数列{a_n}满足a₁=a，对于n=1，2，3…，an+1=

an-1，an＞1时 -an+2，an≤1时

（1）0＜a_n＜2时，证明0＜a_n+1＜2；
（2）a满足0＜a＜1，求a_n（n=1，2，3…）；
（3）k为自然数，求使a_n+k=a_n（n=1，2，3…），成立的所有k与a．

Answer 1

分析：（1）当0＜a_n≤1时，a_n+1=-a_n+2，可得1≤a_n+1＜2；当1＜a_n＜2时，a_n+1=a_n-1，可得0＜a_n+1＜1；
（2）0＜a＜1时，a₂=-a₁+2=-a+2＞1，a₃=a₂-1=-a+1＜1，a₄=-a₃+2=a+1＞1，a₅=a₄-1═a₁，由此可得a_n；
（3）由（2）知，0＜a＜1时，a₅=a₁，数列{a_n}是以4为周期的数列，若a₃=a₁，则a=

1

2

，2也是周期，而a₂，a₁范围不同，不可能相等，所以分类讨论，从而可求所有k与a．

解答：（1）证明：当0＜a_n≤1时，a_n+1=-a_n+2，1≤-a_n+2＜2，∴1≤a_n+1＜2；
当1＜a_n＜2时，a_n+1=a_n-1，0＜a_n-1＜1，∴0＜a_n+1＜1；
∴0＜a_n＜2时，0＜a_n+1＜2；
（2）解：0＜a＜1时，a₂=-a₁+2=-a+2＞1，a₃=a₂-1=-a+1＜1，a₄=-a₃+2=a+1＞1，a₅=a₄-1=a
∴a₅=a₁，∴数列{a_n}是以4为周期的数列
∴a_n=

a+1，n=4l 1-a，n=4l-1 2-a，n=4l-2 a，n=4l-3

（l∈N₊）
（3）解：由（2）知，0＜a＜1时，a₅=a₁，数列{a_n}是以4为周期的数列，
若a₃=a₁，∴1-a=a，∴a=

1

2

，2也是周期，而a₂，a₁范围不同，不可能相等，所以
①0＜a＜1且a≠

1

2

时，k=4m；
②a=

1

2

，k=2m，
而1＜a＜2时，a₂=a-1∈（0，1），a₃=2-a₂=3-a∈（1，2），a₄=a₃-1=2-a∈（0，1），a₅=2-a₄=a，同上4为一个周期，a=

3

2

时，2也是周期；
③1＜a＜2且a≠

3

2

时，k=4m
④a=

3

2

时，k=2m
⑤a=1时，有a₂=a₁=1，为常数列；
⑥若a≥2时，由题意知，存在k（k≥2），使得数列{a_n}中前k-1项成公差为-1的递减数列且都大于2，而第k项a_k∈（0，2），由（1）知第k项a_k后的所有项a_k∈（0，2），（n≥k），所以不存在k为自然数，求使a_1+k=a₁，故此种情形不成立；
⑦若a≤0，则a₂≥2，由④可知，自a₂起所有项a_n＞0，所以不存在k为自然数，求使a_1+k=a₁，故此种情形不成立；
综上，①0＜a＜1且a≠

1

2

时，k=4m；②a=

1

2

，k=2m，③1＜a＜2且a≠

3

2

时，k=4m，④a=

3

2

时，k=2m．

点评：本题考查不等式的证明，考查数列的通项，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．