Question

已知函数f（x）=（2ax-x²）e^ax，其中a为常数，且a≥0．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

解法一：（Ⅰ）依题意得f（x）=（2x-x²）e^x，所以f'（x）=（2-x²）e^x，
令f′（x）=0，得x=±，
当时，f^′（x）＜0，函数f（x）在此区间单调递减；
当x∈时，f^′（x）＞0，函数f（x）在此区间上单调递增；
当x∈时，f^′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；
由上可知，x=-是函数f（x）的极小值点，x=是函数f（x）的极大值点．

（Ⅱ）f'（x）=[-ax²+（2a²-2）x+2a]e^ax，
由函数f（x）在区间上单调递减可知：f′（x）≤0对任意恒成立，
当a=0时，f′（x）=-2x，显然f'（x）≤0对任意恒成立；
当a＞0时，f′（x）≤0等价于ax²-（2a²-2）x-2a≥0，
因为，不等式ax²-（2a²-2）x-2a≥0等价于x-
令g（x）=x-
则g'（x）=1+，在上显然有g′（x）＞0恒成立，所以函数g（x）在单调递增，
所以g（x）在上的最小值为
由于f′（x）≤0对任意恒成立等价于x-对任意恒成立，
需且只需g（x）_min≥，即0≥，解得-1≤a≤1，因为a＞0，所以0＜a≤1．
综合上述，若函数f（x）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为0≤a≤1．
若＞0，即a＞1时，由于函数h（x）的图象是连续不间断的，
假如h（x）≥0对任意恒成立，则有，
解得-1≤a≤1，与a＞1矛盾，所以h（x）≥0不能对任意恒成立．
综上所述：若函数f（x）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为0≤a≤1．
分析：（I）由题意把a代入，先使得函数解析式具体，再利用函数在定义域下导函数随自变量x的范围不同其正负符号也不同，得到函数f（x）的单调性的判断，从而零用极值的定义得到函数的极值；
（II）由题意等价转化为函数在区间上恒成立问题，最终归结为求函数在定义域下求最值．
点评：（I）此题考查了利用导函数求其函数的单调增减区间，还考查了求解一元二次不等式；
（II）此题首先考查了数学常考的等价转化的数学思想，还考查了函数在定义域下恒成立问题的实质为求函数在定义域下的最值．