Question

【题目】记，其中为函数的导数若对于，，则称函数为D上的凸函数．

求证：函数是定义域上的凸函数；

已知函数，为上的凸函数．

求实数a的取值范围；

求函数，的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；见解析

【解析】

求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出导函数的单调区间，从而判断函数的凹凸性即可；

求出函数的导数，问题转化为在上恒成立，求出a的范围即可；令，，则，通过讨论a的范围，求出的最小值即可．

由，，

得，，

令，，则，

当时，，当时，，

故在递减，在递增，

故，

故对于，，

函数是定义域上的凸函数；

由，，

得，，

函数是上的凸函数，

故在上恒成立，

故在上恒成立，

故，故，

故实数a的范围是，

令，，

则，

，，，

当时，在上恒成立，

故F，

故H，当且仅当时取等号，

；

当时，在恒成立，

故F在递增，

故F，

故H；

当时，令，

存在零点，，

其中，，

，，

故，

结合的性质有：时，，故F，

时，，故F，

故F在上递减，在递增，

故F，

由知，，

故，从而，

故F，

又的图象是一条不间断的曲线，

故F在上有零点，

故H的最小值是0，

综上，当时，的最小值是，

当时，的最小值是0，

当时，的最小值是．