Question

【题目】已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（ ，0），将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移0.5π个单位长度后得到函数g（x）的图象；
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）当a≥1，求实数a与正整数n，使F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）恰有2019个零点．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，

∴ω= =2，

又曲线y=f（x）的一个对称中心为（ ，0），φ∈（0，π），

故f（ ）=sin（2× +φ）=0，得φ= ，所以f（x）=cos2x．

将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，

再将y=cosx的图象向右平移0.5π个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣0.5π）的图象，

∴g（x）=sinx

（2）解：∵φ（x）=asinx+cos2x=0（∵sinx≠0），

a=﹣ m（x），可得m（x）= =2sinx﹣ ，m′（x）=2cosx+ = ，

令m′（x）=0得x= ， ，

∴m（x）在（0， ）上单调递增，（ ，π）与（π， ）上单调递减，（ ，2π）上单调递增，

当a＞1时，m（x）=a在（0，2π）有2解；

则a=1时，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，

而2019÷3=673，所以n=673×2=1346，

∴存在a=1，n=1346时，φ（x）有2019个零点

【解析】（1）依题意，可求得ω=2，φ= ，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；（2）由于φ（x）=asinx+cos2x=0（sinx≠0），a=﹣ m（x），可得m（x）= =2sinx﹣ ，m′（x）=2cosx+ = ，令m′（x）=0得x= ， ，可得m（x）在（0， ）上单调递增，（ ，π）与（π， ）上单调递减，（ ，2π）上单调递增，分析可知a=±1时，m（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，
而2019÷3=673，得n=673*2=1346，从而存在a=1，n=1346或a=﹣1，n=1346时，φ（x）有2019个零点．