Question

【题目】已知三条直线l1：ax﹣y+a=0，l2：x+ay﹣a（a+1）=0，l3：（a+1）x﹣y+a+1=0，a＞0．
（1）证明：这三条直线共有三个不同的交点；
（2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：直线l1：ax﹣y+a=0恒过定点A（﹣1，0），

直线l3：（a+1）x﹣y+a+1=0恒过定点A（﹣1，0），

∴直线l1与l3交于点A；

又直线l2：x+ay﹣a（a+1）=0不过定点A，

且l1与l2垂直，必相交，设交点为B，则B（ ， ）；

l2与l3相交，交点为C（0，a+1）；

∵a＞0，∴三点A、B、C的坐标不相同，

即这三条直线共有三个不同的交点；

（2）解：根据题意，画出图形如图所示；

AB⊥BC，

∴点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；

则△ABC的面积最大值为

S= |AC| |AC|= ×（1+（a+1）2）= a2+ a+ ．

【解析】（1）分别求出直线l1与l3的交点A、l1与l2的交点B和l2与l3的交点C，且判断三点的坐标各不相同即可；（2）根据题意画出图形，由AB⊥BC知点B在以AC为直径的半圆上，除A、C点外；由此求出△ABC的面积最大值．