Question

19．如图，空间四边形ABCD中，每条边的长度和两条对角线的长度都等于1，M、N分别是AB、AD的中点，计算$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{DC}$．

Answer 1

分析 根据题意，得出所求数量积为$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{DC}$，由数量积的定义即可得出答案．

解答 解：空间四边形ABCD中，每条边和两条对角线的长度都等于1，
∴底面ABC为等边三角形，∠BDC=60°，
又点M、N分别是AB、AD的中点，
∴$\overrightarrow{MN}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{DC}$
=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{BD}$|•|$\overrightarrow{DC}$|cos（π-∠BDC）
=$\frac{1}{2}$×1×1×（-$\frac{1}{2}$）
=-$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了平面向量数量积的定义与运算问题，是基础题目．