Question

8．函数f（x）=-cos²x-2asinx+a，在区间[0，π]上有最小值-2，求a的值．

Answer 1

分析 化余弦为正弦，然后换元，在分类讨论，利用单调性求得函数的最小值，由最小值为-2求得a值．

解答 解：f（x）=-cos²x-2asinx+a=sin²x-2asinx+a-1．
令t=sinx，
∵[0，π]，∴t∈[0，1]，
则函数f（x）=-cos²x-2asinx+a化为：g（t）=t²-2at+a-1．
其对称轴方程为t=a，
当a＜0时，g（t）_min=g（0）=a-1=-2，解得a=-1；
当a＞1时，g（t）_min=g（1）=-a=-2，解得a=2；
当0≤a≤1时，$g（t）_{min}=g（a）=-{a}^{2}+a-1=-2$，解得a=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$（舍）．
∴a的值是-1和2．

点评 本题考查三角函数的最值，考查了换元法，训练了利用分类讨论求二次函数的最值，是中档题．