Question

18．已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，2）
（1）若$\overrightarrow{DB}$∥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{DC}$∥$\overrightarrow{AB}$，求点D的坐标；
（2）求到A，B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）设出点D的坐标，用坐标表示出向量$\overrightarrow{DB}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{DC}$与$\overrightarrow{AB}$，利用向量平行列出方程组，求出点D的坐标；
（2）根据两点间的距离公式，列出方程，求出点P满足的条件．

解答 解：（1）设D（x，y，z），∴$\overrightarrow{DB}$=（-x，1-y，-z），$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，2），
$\overrightarrow{DC}$=（-x，-y，2-z），$\overrightarrow{AB}$=（-1，1，0），
又$\overrightarrow{DB}$∥$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{DC}$∥$\overrightarrow{AB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-y=0}\\{2-z=0}\\{z=-2x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\\{z=2}\end{array}\right.$；
∴点D的坐标为（-1，1，2）；
（2）到A，B两点距离相等的点P（x，y，z）应满足|PA|=|PB|，
即$\sqrt{{（x-1）}^{2}{+y}^{2}{+z}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}{+（y-1）}^{2}{+z}^{2}}$，
化简得x-y=0．

点评 本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，也考查了方程与方程组的应用问题，是基础题目．