Question

10．已知正项等比数列{a_n}满足a₅+a₄-a₃-a₂=5，则a₆+a₇的最小值为（　　）

• A． 32
• B． 10+10$\sqrt{2}$
• C． 20
• D． 28

Answer 1

分析 设正项等比数列{a_n}的公比为q＞1，由于a₅+a₄-a₃-a₂=5，可得（q²-1）（a₃+a₂）=5．因此a₆+a₇=q⁴（a₃+a₂）=$\frac{5{q}^{4}}{{q}^{2}-1}$=$5[（{q}^{2}-1）+\frac{1}{{q}^{2}-1}]+10$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q＞1，
∵a₅+a₄-a₃-a₂=5，
∴（q²-1）（a₃+a₂）=5．
则a₆+a₇=q⁴（a₃+a₂）=$\frac{5{q}^{4}}{{q}^{2}-1}$=$\frac{5（{q}^{4}-1）+5}{{q}^{2}-1}$=$5[（{q}^{2}-1）+\frac{1}{{q}^{2}-1}]+10$≥$5×2\sqrt{（{q}^{2}-1）•\frac{1}{{q}^{2}-1}}$+10=20，当且仅当q²=2，即q=$\sqrt{2}$时取等号．
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．