Question

设数列{a_n}、{b_n} 满足a₁=

1

2

，2na_n+1=（n+1）a_n且b_n=ln（1+a_n）+

1

2

a_n²，n∈N^*．
（I）求数列{a_n} 的通项公式；
（II）对一切n∈N^*，证明

2

an+2

＜

an

bn

成立．

Answer 1

分析：（I）根据条件可知

an+1

n+1

=

1

2

×

an

n

，则数列{

an

n

}是以

a1

1

=

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列，从而求出

an

n

的通项公式，即可求出所求；
（II）欲证

2

an+2

＜

an

bn

即证2b_n＜a_n²+2a_n，即证b_n-

1

2

a_n²=ln（1+a_n）＜a_n，构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），然后利用导数研究该函数的单调性，从而证得结论．

解答：（Ⅰ）解：∵2na_n+1=（n+1）a_n
∴

an+1

n+1

=

1

2

×

an

n

∴数列{

an

n

}是以

a1

1

=

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列  …（4分）
∴

an

n

=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n
∴a_n=

n

2n

  …（6分）
（II）证明：

2

an+2

＜

an

bn

?2b_n＜a_n²+2a_n?2b_n-a_n²-2a_n＜0
?b_n-

1

2

a_n²-a_n＜0?b_n-

1

2

a_n²=ln（1+a_n）＜a_n，…（9分）
构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0）
当x＞0时，f'（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0  …（12分）
∴f（x）在x∈[0，+∞）内为减函数
当x＞0时，f（x）＜f（0）=0
∴ln（1+x）＜x（x＞0）注意到a_n＞0，
∴ln（1+a_n）＜a_n
∴对一切n∈N^*，证明

2

an+2

＜

an

bn

成立．       （14分）

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及利用导数研究函数的单调性和数列与不等式的综合，同时考查了转化的思想和计算能力，推理论证的能力，属于中档题．