Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在处的切线过点，求的解析式；

（2）若函数在上单调递减，求实数取值范围；

（3）若函数在上的最小值为，求实数的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）．（3）

【解析】

（1）求导后可得切线方程为，则，解出即可；

（2）由题意得在上恒成立，即在上恒成立，由此可求；

（3），，分类讨论：

①若，则在上是增函数，则（舍去）；

②若，则在上是减函数，在上是增函数，，解得（符合）；

③若，则在上是减函数，（舍去）．

解：（1），，，

切线方程为，

又因为切线过点，所以，解得，

所以的解析式为；

（2）∵在上是减函数，又，

∴在上恒成立，即在上恒成立，

所以实数的取值范围为；

（3）由（2）得，，

①若，则，即在上恒成立，此时在上是增函数，

所以（舍去）；

②若，令，得，

当时，，所以在上是减函数，

当时，，所以在上是增函数，

所以，解得（符合要求）；

③若，则，即在上恒成立，此时在上是减函数，

所以，所以（舍去）；

综上：．