Question

设f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求证：
（Ⅰ）方程f（x）=0有实根．
（Ⅱ）-2＜＜-1；设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个实根，则.．

Answer 1

证明：（Ⅰ）若a=0，则b=-c，
f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=-c²≤0，
与已知矛盾，
所以a≠0．
方程3ax²+2bx+c=0的判别式△=4（b²-3ac），
由条件a+b+c=0，消去b，得△=4（a²+b²-ac）=
故方程f（x）=0有实根．
（Ⅱ）由条件，知，，
所以（x₁-x₂）²=（x₁-x₂）²-4x₁x₂=
因为，
所以
故
分析：（Ⅰ）针对a进行分类讨论，若a=0，f（0）f（1）≤0显然与条件矛盾，a≠0时，f（x）=3ax²+2bx+c为二次函数，只需考虑判别式即可；
（Ⅱ）利用根与系数的关系将（x₁-x₂）²转化成关于的二次函数，根据的范围求出值域即可．
点评：本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．