Question

（2012•雁江区一模）已知函数f（x）=m+log_ax（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2），点P（3，-1）关于直线x=2的对称点Q在f（x）的图象上．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=2f（x）-f（x-1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出点P关于直线x=2的对称点，然后把点（8，2）和P的对称点的坐标代入函数f（x）的解析式联立解方程组可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）把f（x）的解析式代入函数g（x）=2f（x）-f（x-1），整理后把得到的函数中对数式的真数运用基本不等式求出最小值，然后借助于对数函数的单调性可求函数g（x）的最小值．

解答：解析：（Ⅰ）点P（3，-1）关于直线x=2的对称点Q的坐标为Q（1，-1）
结合题设知，可得

f(8)=2 f(1)=-1

，即

m+loga8=2 m+loga1=-1

，
解得m=-1，a=2，故函数解析式为f（x）=-1+log₂x．
（Ⅱ）g（x）=2f（x）-f（x-1）=2（-1+log₂x）-[-1+log₂（x-1）]=log2

x2

x-1

-1（x＞1），
∵

x2

x-1

=

(x-1)2+2(x-1)+1

x-1

=(x-1)+

1

x-1

+2≥2

(x-1)• 1 x-1

+2=4，
当且仅当x-1=

1

x-1

即x=2时，“=”成立，
而函数y=log₂x在（0，+∞）上单调递增，则log2

x2

x-1

-1≥log24-1=1，
故当x=2时，函数g（x）取得最小值1．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了利用基本不等式求函数最小值，利用基本不等式求最值一定要注意应满足的条件，即“一正、二定、三相等”，是中档题．