Question

如图，在四凌锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，M是SC的中点，且SA=AB=BC=2，AD=1．
（1）求证：DM∥平面SAB；
（2）求四棱锥S-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）要证DM∥平面SAB，可取SB的中点N，连接AN、MN，利用中位线知识及已知条件证明四边形MNAD是平行四边形，从而得到DM∥AN，由线面平行的判定得证；
（2）由AB⊥平面SAD，结合线面垂直的性质得到SA⊥AB，再由已知SA⊥CD，利用线面垂直的判定得SA⊥底面ABCD，由直角梯形的面积公式求出底面积，直接代入棱锥体积公式得答案．

解答：（1）证明：如图，

取SB的中点N，连接AN、MN，
∵点M是SC的中点，∴MN∥BC，且BC=2MN，
∵底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD，AB⊥BC，BC=2，AD=1，
∴AD∥BC，且BC=2AD，∴MN∥AD，且MN=AD，
∴四边形MNAD是平行四边形，∴DM∥AN，
∵DM?面SAB，AN?面SAB，∴DM∥平面SAB；
（2）解：∵AB⊥底面SAD，SA?底面SAD，AD?底面SAD，
∴AB⊥SA，AB⊥AD，∵SA⊥CD，AB、CD是平面ABCD内的两条相交直线，
∴侧棱SA⊥底面ABCD，又在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，
底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，SA=AB=BC=2，AD=1，
∴VS-ABCD=

1

3

•SABCD•SA=

1

3

•

(2+1)•2

2

•2=2．

点评：本题考查了线面平行的判定，考查了线面垂直的性质，训练了棱锥体积公式的求法，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．