Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量 ，则λ+μ的最小值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，

则E（ ，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0），B（1，0）．

设 P（cosθ，sinθ），∴ =（1，1）．

再由向量 =λ（ ，﹣1）+μ（cosθ，sinθ）=（ ，﹣λ+μsinθ ）=（1，1），

∴ ，∴ ，

∴λ+μ= = =﹣1+ ．

由题意得 0≤θ≤ ，∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1．

求得（λ+μ）′= = ＞0，

故λ+μ在[0， ]上是增函数，故当θ=0时，即cosθ=1，这时λ+μ取最小值为 = ，

故答案为： ．

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，表示出各点坐标，设P（cosθ，sinθ），由向量运算得出λ+μ的解析式，求导并在给定区间得出最值.