Question

（本小题满分14分）

      以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。

（1）       求椭圆的离心率；     

（2）       求直线AB的斜率；     

（3）       设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值     

Answer 1

解析：（1）解：由//且，得，从而

  整理，得，故离心率     

（2）解：由（I）得，所以椭圆的方程可写为

  设直线AB的方程为，即.      

 由已知设，则它们的坐标满足方程组

消去y整理，得.

依题意，

而                 ①

                ②     

由题设知，点B为线段AE的中点，所以

                       ③

联立①③解得，

将代入②中，解得.

(III)解法一：由（II）可知     

当时，得，由已知得.

线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴

的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.

直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组

  ， 由解得故

当时，同理可得.      

解法二：由（II）可知

当时，得,由已知得

由椭圆的对称性可知B，，C三点共线，因为点H（m，n）在的外接圆上，

且，所以四边形为等腰梯形.

      由直线的方程为,知点H的坐标为.

因为，所以，解得m=c（舍），或.

则，所以.      

当时同理可得