Question

如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABC0是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．

(1)证明PA∥平面EDB；

(2)证明PB⊥平面EFD．

Answer 1

答案：略
解析：

转化思想是立体几何中常用的数学思想，三种平行关系的转化垂直关系之间的转化等． 证明：(1)连结AC交BD于O，连结EO． ∵底面ABCD是正方形， ∴O点是AC的中点．在△PAC中，EO是中位线， ∴PA∥EO． 而EO平面EDB，且PA平面EDB， ∴PA∥平面EDB． (2)∵PD⊥底面ABCD，且DC底面ABCD， ∴PD⊥DC． ∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形， 而DE是斜边PC的中线， ∴DE⊥PC．① 同理PD⊥底面ABCD， 得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC， ∴BC⊥平面PDC．而DE平面PDC， ∴BC⊥DK．② 由①②推得DE⊥平面PBC． 而PB平面PBC，∴DE⊥PB． 又EF⊥PB，且DE∩EF=E， ∴PB⊥平面EFD． 一般地，线线关系或面面关系都转化为线面关系来分析解决，关系如下所示：