Question

某校高一年级开设研究性学习课程，（1）班和（2）班报名参加的人数分别是18和27．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（2）班抽取了3名同学．
（Ⅰ）求研究性学习小组的人数；
（Ⅱ）规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．

Answer 1

（Ⅰ）解：设从（1）班抽取的人数为m，根据分层抽样的定义和方法，得 ，所以m=2，
研究性学习小组的人数为m+3=5． …（5分）
（Ⅱ）设研究性学习小组中（1）班的2人为a₁，a₂，（2）班的3人为b₁，b₂，b₃．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：
（a₁，a₁），（a₁，a₂），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），（a₂，a₁），（a₂，a₂），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，b₃），（b₁，a₁），（b₁，a₂），
（b₁，b₁），（b₁，b₂），（b₁，b₃），（b₂，a₁），（b₂，a₂），（b₂，b₁），（b₂，b₂），（b₂，b₃），（b₃，a₁），（b₃，a₂），（b₃，b₁），（b₃，b₂），（b₃，b₃），
共25种． …（9分）
2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，b₃），（b₁，a₁），（b₁，a₂），（b₂，a₁），
（b₂，a₂），（b₃，a₁），（b₃，a₂），共12种． …（12分）
所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为． …（13分）
分析：（Ⅰ）设从（1）班抽取的人数为m，根据分层抽样的定义和方法，可得 ，所以m=2，由此求得研究性学习小组的人数．
（Ⅱ）设研究性学习小组中（1）班的2人为a₁，a₂，（2）班的3人为b₁，b₂，b₃．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件一一列举共25个，满足条件的有12个，由此求得
2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．
点评：本题考查古典概型问题，分层抽样的定义和方法，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想，属于中档题．