Question

【题目】已知函数， ．

（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；

（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；

Answer 1

【答案】（1）a=﹣2；（2）[1，+∞）

【解析】试题分析:（1）由导数几何意义得 （2）化简不等式为 ,即为单调递增函数,即 恒成立,参变分离得的最大值,即得实数的取值范围

试题解析：解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，

曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，

由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，

解得a=﹣2；

（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，

对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为

＞0，

令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，

由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，

可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，

则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）