Question

（2008•崇明县一模）（理科）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=4，M为PA的中点，N为BC的中点．
（1）求点B到平面PCD的距离；
（2）求二面角M-ND-A的大小．

Answer 1

分析：（1）由V_P-BCD=V_B-PCD，计算得h=

4

5

5

．
（2）以点A为坐标原点，分别以

AB

，

AD

，

AP

为x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系．则M（0，0，2），N（2，1，0），D（0，2，0）．平面AND的一个法向量为

n

1=(0，0，2)，用向量法求解．

解答：解：（1）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=4，
∴V_P-BCD=

1

3

×

1

2

×22×4=

8

3

，
PD=

16+4

=2

5

，PC=

16+4+4

=2

6

，CD=2，
∴S△PCD=

(1+ 6 + 5 )(1+ 5 - 6 ) (1- 5 + 6 )( 5 + 6 -1)

=2

5

，
设点B到平面PCD的距离为h，
∵V_P-BCD=V_B-PCD，
∴

1

3

×2

5

h=

8

3

，
计算得h=

4

5

5

．
（等积式或计算V_p-BCD体积（2分），结果2分）
（2）以点A为坐标原点，分别以

AB

，

AD

，

AP

为x轴、y轴、z轴，建立直角坐标系．
（1分）
则M（0，0，2），N（2，1，0），D（0，2，0）．
平面AND的一个法向量为

n

1=(0，0，2)，（3分）
设平面MND的法向量为n₂（x，y，z），那么：

MN

=(2，1，-2)，

MD

=(0，2，-2)，
由此得：

2x+y-2z=0 2y-2z=0

，所以平面MND的其中一个法向量为

n2

=(1，2，2)（6分）
计算得：θ=arccos

2

3

．即：二面角M-ND-A的大小为θ=arccos

2

3

．       （8分）

点评：本题考查线面位置关系、点面距的计算、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．