Question

设正实数x，y满足x+y=1，则

1

x

+

4x

y

的最小值为（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、

  16

  3

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用

分析：由正实数x，y满足x+y=1，可得

1

x

+

4x

y

=

1

x

+

4x

1-x

=f（x），（0＜x＜1）．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答：解：∵正实数x，y满足x+y=1，
∴

1

x

+

4x

y

=

1

x

+

4x

1-x

=f（x），（0＜x＜1）．
则f′（x）=-

1

x2

+

4

(x-1)2

=

(x+1)(3x-1)

x2(x-1)2

，
令f′（x）＞0，解得

1

3

＜x＜1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得0＜x＜

1

3

，此时函数f（x）单调递减．
因此当x=

1

3

时，函数f（x）取得最小值，f(

1

3

)=5．
故选：B．

点评：本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值，属于基础题．