Question

13．若函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+lnx-ax+1在区间（$\frac{1}{2}$，3）上单调递减，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，2]
• B． （-∞，2）
• C． [3，+∞）
• D． $（-∞，\frac{5}{2}）$

Answer 1

分析 求出函数的单调区间，由于函数区间$（\frac{1}{2}，3）$上单调递减，故此区间是其定义上单调区间的子集，故比较区间的端点即可得到参数的取值范围，选出正确答案．

解答 解：函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+lnx-ax+1$的导数为f'（x）=x+$\frac{1}{x}$-a=$\frac{{x}^{2}-ax}{x}$，令f′（x）＜0，可得x²-ax＜0，解得x∈（0，a），函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+lnx-ax+1$在区间$（\frac{1}{2}，3）$上单调递减，
可得a≥3，实数a的取值范围为[3，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，求解本题的关键是利用导数求出函数的单调递减区间以及根据题设条件作出正确判断得出参数所满足的不等式，解出参数的取值范围，根据题设转化出不等式是本题的易错点，要注意等价转化．