Question

（本小题满分14分）

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知直线与椭圆相交于两点，且坐标原点到直线的距离为，的大小是否为定值？若是求出该定值，不是说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）的大小为定值，且

【解析】

试题分析：（I）设椭圆方程为                        ……1分

因为

则

于是                                               ……4分

因为                             ……5分

故椭圆的方程为                                              ……6分

（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，由坐标原点到直线的距离为可知

,

∴,∴,                                            ……8分

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为, ,     ……9分

∵原点到直线的距离为,

∴，整理得（*）,                           ……10分

                        ……11分

,

将（*）式代入得,                      ……12分

,                     ……13分

∴ 

综上分析，的大小为定值，且.                          ……14分

考点：本小题主要椭圆标准方程的求解和直线与椭圆位置关系的判断和应用.

点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系题目时，如果需要设直线方程，则不要漏掉直线斜率不存在的情况；联立直线方程与圆锥曲线方程后，不要忘记验证判别式大于零.