Question

13．已知向量$\overrightarrow{m}$=（3sinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=（-cosx，$\sqrt{3}$cosx），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（I）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=a在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量的数量积运算，化简得到f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{5π}{6}$），根据三角函数的性质求出最值，
（Ⅱ）求出函数f（x）的单调区间，并画出y=f（x）和y=a的图象，由图象可得到答案．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-3sinxcosx+$\sqrt{3}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{3}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2x）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{3}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{5π}{6}$）
当2x+$\frac{5π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z时，函数f（x）取得最大值$\sqrt{3}$，
（Ⅱ）由于x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{5π}{6}$∈[$\frac{5π}{6}$，$\frac{11π}{6}$]，
而函数f（x）在区间[$\frac{5π}{6}$，$\frac{3π}{2}$]上单调递减，在区间[$\frac{3π}{2}$，$\frac{11π}{6}$]上单调递增，
结合图象（如图），所以方程f（x）=a在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不同的实数根时，a∈（-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查了向量的运算和三角函数的化简，以及参数的取值范围，属于中档题．