Question

（本小题满分14分）已知定义在上的函数满足，且对任意有．
（Ⅰ）判断在上的奇偶性，并加以证明．
（Ⅱ）令，，求数列的通项公式．
（Ⅲ）设为的前项和，若对恒成立，求的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）奇函数。见解析；（Ⅱ）； （Ⅲ）的最大值为．

(1)先根据x,y取值的任意性，可令得， 然后再令x=0,可得
f(-y)=-f(y),从而可判定f(x)为奇函数.
（II）满足，则必有
，否则若则必有，依此类推必有，矛盾.据此可否定据此，
从而得到,
然后再根据，可确定是等比数列， 问题到此基本得以解决.
(III)在（2）的基础上，可知， 从而可采用错位相减的方法求和.
（Ⅰ）．对任意有…………①
令得；………………………………………………１分
令由①得，
用替换上式中的有………………………………………２分
在上为奇函数．………………………………………………３分
（Ⅱ）．满足，则必有
否则若则必有，依此类推必有，矛盾
………………………………………………５分

，又
是为首项，为公比的等比数列，…………………………………７分
　　　　　　　　　………………………………………………８分
（Ⅲ）．………………………………………………９分
故……………………………………②
………………………③
②③得
………………………………………………１１分
………………………………………………１２分
若对恒成立须，解得……………………１３分
的最大值为．　　　　　　　………………………………………………１４分