Question

【题目】为美化校园，江苏省淮阴中学将一个半圆形的边角地改造为花园.如图所示，O为圆心，半径为1千米，点A、B、P都在半圆弧上，设∠NOP=∠POA=，∠AOB=，且.

（1）请用分别表示线段NA、BM的长度；

（2）若在花园内铺设一条参观线路，由线段NA、AB、BM三部分组成，则当取何值时，参观线路最长？

（3）若在花园内的扇形ONP和四边形OMBA内种满杜鹃花，则当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大？

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）

【解析】

（1）利用余弦定理表示，，并用二倍角公式化简，得答案；

（2）由（1）用表示长度l，利用换元法求得最大值；

（3）由扇形面积和三角形的面积公式，用表示面积S，对S求导，利用导数分析单调性，从而求得最大值.

（1）由余弦定理可知：

因为，所以，所以，；

（2）由题可知AB=NA=，

所以参观路线的长度=

令,即

当时，取得最大值，此时即时，参观路线最长

（3）由题可知扇形ONP的面积

三角形AOB的面积

三角形BOM的面积

所以杜鹃花的种植总面积

令得或（舍）

因为，所以，

当时，，S单调递增；当时，，S单调递减

所以时，杜鹃花的种植总面积最大