Question

3．过椭圆C：3x²+4y²=12的右焦点的直线交椭圆于A，B两点，若A，B两点到椭圆右准线的距离之和为7，求此直线的方程．

Answer 1

分析 设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A，B到椭圆右准线的距离分别为d₁，d₂．先看当斜率不存在时，直线的方程为x=1，求得d₁+d₂=6≠7，不符合题意；再看当斜率存在时设直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂的表达式，根据d₁+d₂=7求得x₁+x₂的值，进而建立等式求得k，则直线方程可得．

解答 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A，B到椭圆右准线的距离分别为d₁，d₂．右准线方程为x=4
（1）若直线的方程为x=1，有x₁=x₂=1，d₁=d₂=4-1=3，d₁+d₂=6≠7，不合题设．
（2）若直线的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$
∵d₁=4-x₁，d₂=4-x₂，d₁+d₂=7
∴x₁+x₂=1
∴$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=1
解得：k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴直线的方程为：y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-1）．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．对于直线的方程问题，一定要分斜率存在和不存在两种情况讨论．