Question

把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器（不计接缝），设容器的高为x，容积为V（x）．
（1）写出函数V（x）的解析式，并求出函数的定义域；
（2）求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积．

Answer 1

（1）因为容器的高为x，则做成的正三棱柱形容器的底边长为(6-2

3

x)（1分）．
则V(x)=

3

4

(6-2

3

x)2x（4分）
函数的定义域为(0，

3

)（5分）
（2）实际问题归结为求函数V（x）在区间(0，

3

)上的最大值点．先求V（x）的极值点．
在开区间(0，

3

)内，V′(x)=9

3

x2-36x+9

3

（7分）
令V′（x）=0，即令9

3

x2-36x+9

3

=0，解得x1=

3

3

，x2=

3

(舍去)．
因为x1=

3

3

在区间(0，

3

)内，x₁可能是极值点．当0＜x＜x₁时，V′（x）＞0；
当x1＜x＜

3

时，V′（x）＜0．（9分）
因此x₁是极大值点，且在区间(0，

3

)内，x₁是唯一的极值点，
所以x=x1=

3

3

是V（x）的最大值点，并且最大值 f(

3

3

)=4
即当正三棱柱形容器高为

3

3

时，容器的容积最大为4．