已知椭圆的左.右焦点分别为.点是轴上方椭圆上的一点.且, , ． (Ⅰ) 求椭圆的方程和点的坐标, (Ⅱ)判断以为直径的圆与以椭圆的长轴为直径的圆的位置关系, (Ⅲ)若点是椭圆:上的任意一点.是椭圆的一个焦点.探究以为直径的圆与以椭圆的长轴为直径的圆的位置关系．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本小题满分14分）

已知椭圆的左、右焦点分别为，点是轴上方椭圆上的一点，且, , ．

(Ⅰ) 求椭圆的方程和点的坐标；

（Ⅱ）判断以为直径的圆与以椭圆的长轴为直径的圆的位置关系；

（Ⅲ）若点是椭圆：上的任意一点，是椭圆的一个焦点，探究以为直径的圆与以椭圆的长轴为直径的圆的位置关系．

【答案】

(Ⅰ) 椭圆的方程是：，

（Ⅱ）两圆相内切

（Ⅲ）两圆内切

【解析】解: (Ⅰ)在椭圆上 , ……………….1分

, ……………….2分

, .

所以椭圆的方程是： ……………….4分

， ……….5分

（Ⅱ）线段的中点

∴ 以为圆心为直径的圆的方程为

圆的半径 …………….8分

以椭圆的长轴为直径的圆的方程为：，圆心为，半径为

圆与圆的圆心距为所以两圆相内切 ………10分

（Ⅲ）以为直径的圆与以椭圆的长轴为直径的圆相内切 ………11分

设是椭圆的另一个焦点，其长轴长为，

∵点是椭圆上的任意一点，是椭圆的一个焦点，

则有，则以为直径的圆的圆心是，圆的半径为，

以椭圆的长轴为直径的圆的半径，

两圆圆心、分别是和的中点，

∴两圆心间的距离，所以两圆内切．…….14分

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