Question

已知椭圆C：的离心率为，椭圆C上的点到左焦点F距离的最小值与最大值之积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过椭圆C内一点M（m，0），与椭圆C交于P、Q两点．对给定的m值，若存在直线l及直线母x=-2上的点N，使得△PNQ的垂心恰为点F，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆离心率为，椭圆C上的点到左焦点F距离的最小值与最大值之积为1，建立方程组，即可求椭圆C的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，△PNQ的垂心恰为点F，建立等式，即可求m的取值范围．
解答：解：（1）由条件得，解得a=，b=c=1
∴椭圆C的方程为．
（2）由条件知，F（-1，0），．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（-2，y₁），则由得（λ²+2）y²+2λmy+m²-2=0，
由知△＞0恒成立，且，．
由PQ⊥NF得y₁=λ，（1）
由NQ⊥PF得，（2）
由（1）（2）式化简得，（λ²+1）y₁y₂+λ（m+1）（y₁+y₂）+（m+1）（m+2）=0
化简得，mλ²=-（3m²+6m+2）（显然m≠0），
由λ²≥0，得，解得．
∴m的取值范围[）．
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．